विराम अवस्था से एक सीधी रेखा में गति कर रहे क | vedclass

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Question

(C) दिया गया त्वरण-वेग $(a-v)$ ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है और $a$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड है। इसे समीकरण $a = -kv + c$ द्वारा दर्शाया ज

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(C) दिया गया त्वरण-वेग $(a-v)$ ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है और $a$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड है। इसे समीकरण $a = -kv + c$ द्वारा दर्शाया जा सकता है,जहाँ $k$ और $c$ धनात्मक स्थिरांक हैं।चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए $t = 0$ पर,$v = 0$ है। ग्राफ से,$v = 0$ पर,$a = a_0$ (एक धनात्मक मान) है। अतः,समीकरण $a = a_0 - kv$ है।हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए:$\frac{dv}{dt} = a_0 - kv$समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:$\int_{0}^{v} \frac{dv}{a_0 - kv} = \int_{0}^{t} dt$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$-\frac{1}{k} [\ln(a_0 - kv)]_{0}^{v} = t$$\ln\left(\frac{a_0 - kv}{a_0}ight) = -kt$दोनों पक्षों का घातांकीय लेने पर:$1 - \frac{kv}{a_0} = e^{-kt}$$v(t) = \frac{a_0}{k}(1 - e^{-kt})$यह समीकरण एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो मूल बिंदु ($t=0$ पर $v=0$) से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t 	o \infty$ होता है,यह अंतिम वेग $v_{max} = \frac{a_0}{k}$ तक पहुँचता है। $v-t$ ग्राफ का ढाल,जो कि त्वरण है,वेग बढ़ने के साथ घटता है,जो दिए गए $a-v$ ग्राफ से मेल खाता है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

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